Question

已知{a_n}是各项均为正数的等差数列，lga₁、lga₂、lga₄成等差数列．又，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）证明{b_n}为等比数列；
（Ⅱ）如果数列{b_n}前3项的和等于，求数列{a_n}的首项a₁和公差d．

Answer

（Ⅰ）设{an}中首项为a1，公差为d．lga1，lga2，lga4成等差数列，把11和d代入求得d，进而分别当d=0，整理可得 bn+1•bn=1，进而判断出{bn}为等比数列；进而讨论d=a1时，整理即可判断出{bn}为等比数列．
（Ⅱ）把第一问所求结论分别代入即可求出数列{an}的首项a1和公差d．
【解析】
（Ⅰ）证明：设{an}中首项为a1，公差为d．
∵lga1，lga2，lga4成等差数列∴2lga2=lga1•lg44
∴a22=a1•a4．
即（a1+d）2=a1（a1+3d）∴d=0或d=a1．
当d=0时，an=a1，bn=，∴=1，∴{bn}为等比数列；
当d=a1时，an=na1，bn=，∴，∴{bn}为等比数列．
综上可知{bn}为等比数列．
（Ⅱ）当d=0时，=，所以a1=；
当d=a1时，=，
所以，故a1=3=d．
综上可知 或 ．