Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=2，∠BAC=90°，D是BC边的中点，E为AA₁的中点，直线A₁C与底面ABC所成的角为60°．
（Ⅰ）求证：A₁C∥面AB₁D；
（Ⅱ）求二面角A-BE-C的大小．

Answer

（1）要证A1C∥面AB1D可证明过A1C的平面与面AB1D平行因此取B1C1的中点G连接A1G，CG根据直棱柱的性质可得面A1GC∥面AB1D而面A1C在面A1GC内故得证．
（2）根据直棱柱的性质可得CA⊥面AA1B1B然后再利用三垂线定理作出二面角的平面角再解三角形即可．
【解析】
（1）取B1C1的中点G连接A1G，CG则A1G∥AD，CG∥B1D
∴面A1GC∥面AB1D
∵A1C⊂面A1GC
∴A1C∥面AB1D
（2）∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°
∴CA⊥AB，CA⊥AA1且AB∩AA1=A
∴CA⊥面AA1B1B
∴过A作AF⊥BE垂足为F连接CF则由三垂线定理知∠AFC即为二面角A-BE-C的平面角
∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=2，直线A1C与底面ABC所成的角为60°
∴∠A1CA=60°
∴在RT△A1AC中AC=2，A1A=ACtan60°=2
∴AE=
∴RT△BAE中AB=2，AE=∴
∵BE×AF=AB×AE
∴AF=
∴tan∠AFC==
∴∠AFC=arctan
即二面角A-BE-C的大小为arctan