Question

已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为D（2，0），设点．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（II）过原点O且斜率为k（k＜0）的直线l交椭圆于点B，C，求△ABC面积的最大值及此时直线l的方程．

Answer

（Ⅰ）由左焦点为，右顶点为D（2，0），得到椭圆的半长轴a，半焦距c，再求得半短轴b，最后由椭圆的焦点在x轴上求得方程．
（II）设该直线方程为y=kx，代入椭圆方程，求得B，C的坐标，进而求得弦长|BC|，再求原点到直线的距离，从而可得三角形面积模型，再用基本不等式求其最值．
【解析】
（Ⅰ）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距c=，则半短轴b=1．
又椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的标准方程为
 （II）设该直线方程为y=kx，代入
解得B（ ），C（ ），
则 ，又点A到直线BC的距离d=，
∴△ABC的面积S△ABC=
于是S△ABC=
由 ≥-1，得S△ABC≤，其中，当k=时，等号成立．
∴S△ABC的最大值是 ．直线方程为y=x