Question

已知函数f（x）=4x³-3x²cosθ+，其中x∈R，θ为参数，且0≤θ≤2π．
①当cosθ=0时，判断函数f（x）是否有极值；
②要使函数f（x）的极小值小于零，求参数θ的取值范围；
③若对②中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f（x）在区间（2a-1，a）内都是增函数，求实数a的取值范围．

Answer

①先求函数的导数，f′（x）＞0在（-∞，+∞）上恒成立，得到函数的单调性，从而可判定是否有极值．
②先求出极值点，f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，求出极小值，使函数f（x）的极小值小于零建立不等关系，求出参数θ的取值范围即可．
③由②知，函数f（x）在区间（-∞，0）与 内都是增函数，只需（2a-1，a）是区间（-∞，0）与 的子集即可．
【解析】
①当cosθ=0时 ，则f（x）在（-∞，+∞）内是增函数，
故无极值．
②f'（x）=12x2-6xcosθ，令f'（x）=0，
得 ．
由 及，（只需考虑cosθ＞0的情况）．
当x变化时，f'（x）的符号及f（x）的变化情况如下表：

因此，函数f（x）在 处取得极小值 ，且 ．
要使 ，必有 ，
可得 ，
所以
当时，
当x变化时，f'（x）的符号及f（x）的变化情况如下表：

当x=0是，函数有极小值，不满足题意．
所以
③由②知，函数f（x）在区间（-∞，0）与 内都是增函数．
由题设，函数f（x）在（2a-1，a）内是增函数，
则a须满足不等式组 或
由（II），时，，
要使不等式 关于参数θ恒成立，必有 ．
综上，解得a≤0或 a＞1
所以a的取值范围是 （-∞，0]∪（1，+∞）