Question

已经三角形的三边分别是整数l，m，n，且l＞m＞n，已知{}={}={}，其中{x}=x-[x]，而[x]表示不超过x的最大整数．则这种三角形周长的最小值为    ．

Answer

根据{}={}={}，可知3l、3m、3n的末四位数字相同即求满足3l°3m≡3n（ mod 104）的l、m、n，利用取余以及数的分析，即可求得结论．
【解析】
∵{}={}={}，∴3l、3m、3n的末四位数字相同，，
即求满足3l°3m≡3n（ mod 104）的l、m、n．∴3n（3l-n-1）≡0 （mod 104）．（l-n＞0）
但 （3n，104）=1，故必有3l-n≡1（mod 104）；同理3m-n≡1（mod 104）．
下面先求满足3x≡1（mod 104）的最小正整数x．
∵j（104）=104´´=4000．故x|4000．用4000的约数试验：
∵x=1，2，时3x1（mod 10），而34≡1（mod 10），∴x必须是4的倍数；
∵x=4，8，12，16时3x1（mod 102），而320≡1（mod 102），∴x必须是20的倍数；
∵x=20，40，60，80时3x1（mod 103），而3100≡1（mod 103），∴x必须是100的倍数；
∵x=100，200，300，400时3x1（mod 104），而3500≡1（mod 104）．
即，使3x≡1（mod 104）成立的最小正整数x=500，从而l-n、m-n都是500的倍数，
设l-n=500k，m-n=500h，（k，h∈N*，k＞h）．
由m+n＞l，即n+500h+n＞n+500k，Þn＞500（k-h）≥500，故n≥501．
取n=501，m=1001，l=1501，即为满足题意的最小三个值．
∴所求周长的最小值为3003．
故答案为3003．