Question

如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB=AB=2MA、
（Ⅰ）证明：AC∥平面PMD；
（Ⅱ）求直线BD与平面PCD所成的角的大小；
（Ⅲ）求平面PMD与平面ABCD所成的二面角（锐角）的正切值．

Answer

（I）取PD的中点E，连EO，EM．根据三角形中位线定理，易判断四边形MAOE是平行四边形，则ME∥AC，结合线面平行的判定定理，可得AC∥平面PMD；
（Ⅱ）由已知中PB⊥平面ABCD，CD⊥BC，我们结合线面垂直的性质及判定可得CD⊥平面PBC，再由面面垂直的判定可得面PBC⊥平面PCD，过B作BF⊥PC于F，连DF，易得∠BDF是直线BD与平面PDC所成的角，解三角形BDF，即可求出直线BD与平面PCD所成的角的大小；
（Ⅲ）分别延长PM，BA，设PM∩BA=G，连DG，过A作AN⊥DG于N，连MN，．则∠MNA是平面PMD与平面ABCD所成的二面角的平面角，解三角形MNA，即可求出平面PMD与平面ABCD所成的二面角（锐角）的正切值．
证明：（Ⅰ）如图，取PD的中点E，连EO，EM．

∵EO∥PB，EO=PB，MA∥PB，MA=PB，
∴EO∥MA，且EO=MA、
∴四边形MAOE是平行四边形．
∴ME∥AC、
又∵AC⊄平面PMD，ME⊂平面PMD，
∴AC∥平面PMD．（3分）
【解析】
（Ⅱ）如图，PB⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴CD⊥PB．
又∵CD⊥BC，
∴CD⊥平面PBC、
∵CD⊂平面PCD，
∴平面PBC⊥平面PCD、

过B作BF⊥PC于F，则BF⊥平面PDC，连DF，则DF为BD在平面PCD上的射影．
∴∠BDF是直线BD与平面PDC所成的角．
不妨设AB=2，则在Rt△PBC中，PB=BC=2，BF⊥PC，
∴BF=PC=．
∵BD=2．
∴在Rt△BFD中，BF=BD，
∴∠BDF=．
∴直线BD与平面PCD所成的角是．（5分）
（Ⅲ）如图，

分别延长PM，BA，设PM∩BA=G，连DG，
则平面PMD∩平面ABCD=DG．
不妨设AB=2，
∵MA∥PB，PB=2MA，
∴GA=AB=2．
过A作AN⊥DG于N，连MN．
∵PB⊥平面ABCD，
∴MA⊥平面ABCD，∴MN⊥DG．
∴∠MNA是平面PMD与平面ABCD
所成的二面角的平面角（锐角）．
在Rt△MAN中，
tan∠MNA==．
∴平面PMD与平面ABCD所成的二面角的正切值是