Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x²-x-10与x轴的交点为A，与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连接AC、现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P，Q移动的时间为t（单位：秒）
（1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点坐标；
（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；
（3）当t∈（0，）时，△PQF的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；
（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？请写出解答过程．

Answer

（1）在y=x2-x-10中，令y=0可求A，令x=0，可求B；由BC∥x轴，可得点C的纵坐标为-10．由-10=x2-x-10可求C，由y=x2-x-10=（x-4）2-可求抛物线的顶点坐标
（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA，故只要QC=PA即可求解．
（3）设点P运动了t秒，则OP=4t，QC=t，且0＜t＜4.5，说明点P在线段OA上，且不与点O，A重合．由QC∥OP，可得====．同理QC∥AF，而===，即=．代入三角形的面积公式S△PQF=PF•OB
（4）设点P运动了t秒，则P（4t，0），F（18+4t，0），Q（8-t，-10）t∈（0，4.5）．从而有PQ2=（4t-8+t）2+102=（5t-8）2+100，FQ2=（18+4t-8+t）2+102=（5t+10）2+100．分①若FP=FQ②若QP=QF，③若PQ=PF分别进行求解
【解析】
（1）在y=x2-x-10中，令y=0得x2-8x-180=0．
解得x=-10或x=18，
∴A（18，0）．（1分）
在y=x2-x-10中，令x=0，得y=-10．
∴B（0，-10）．（2分）
∵BC∥x轴，
∴点C的纵坐标为-10．
由-10=x2-x-10得x=0或x=8．
∴C（8，-10）．（3分）
∵y=x2-x-10=（x-4）2-
∴抛物线的顶点坐标为（4，-）．（4分）
（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA，故只要QC=PA即可．
∵QC=t，PA=18-4t，
∴t=18-4t．
解得t=．（6分）
（3）设点P运动了t秒，则OP=4t，QC=t，且0＜t＜4.5，说明点P在线段OA上，且不与点O，A重合．
∵QC∥OP，
∴====．
同理QC∥AF，
∴===，即=．
∴AF=4t=OP．
∴PF=PA+AF=PA+OP=18．（8分）
∴S△PQF=PF•OB=×18×10=90
∴△PQF的面积总为定值90．（9分）
（4）设点P运动了t秒，则P（4t，0），F（18+4t，0），Q（8-t，-10）t∈（0，4.5）．
∴PQ2=（4t-8+t）2+102=（5t-8）2+100，FQ2=（18+4t-8+t）2+102=（5t+10）2+100，PF=18
①若FP=FQ，则182=（5t+10）2+100．
即25（t+2）2=224，（t+2）2=．
∵0＜t＜4.5，
∴2＜t+2＜6.5，
∴t+2==．
∴t=-2．（11分）
②若QP=QF，则（5t-8）2+100=（5t+10）2+100．
即（5t-8）2=（5t+10）2，无0≤t≤4.5的t满足．（12分）
③若PQ=PF，则（5t-8）2+100=182．
即（5t-8）2=224，由于≈15，又0≤5t≤22.5，
∴-8≤5t-8≤14.5，而14.52=（）2=＜224．
故没有0＜t＜4.5的t满足此方程．（13分）
注：也可解出t=＜0或t=＞4.5均不合题意，
故无0≤t≤4.5的t满足此方程．
综上所述，当t=-2时，△PQF为等腰三角形．（14分）