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已知椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,且椭圆的长轴与短轴长之比为3:2....

已知椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,且椭圆的长轴与短轴长之比为3:2.已知椭圆上一动点P,满足manfen5.com 满分网
(1)求椭圆的方程;
(2)若manfen5.com 满分网,求△PF1F2的面积;
(3)过点P(1,1)的直线与椭圆交于C、D两点,且满足manfen5.com 满分网,求直线CD的方程.
(1)由椭圆的定义及已知条件,求出a、b 的值,依据条件写出标准方程. (2)由题意知,△PF1F2为直角三角形,由勾股定理和椭圆的第一定义建立方程组,求出直角三角形两直角边的积, 从而求出△PF1F2的面积. (3)点斜式设出直线CD的方程代入椭圆的方程,转化为关于x的一元二次方程,由知,点P为CD的中点, 故方程的两根之和等于2,求出斜率,即得直线CD的方程. 【解析】 (1)由椭圆的定义知,2a=6,2a:2b=3:2,b=2,故所求的椭圆方程为 ; (2)⇒|PF1||PF2|=8,, 所以,所求面积为4; (3)椭圆方程为 ,设弦CD的斜率为k, 则CD:y=k(x-1)+1=kx+1-k, 代入椭圆方程,得4x2+9(kx+1-k)2-36=0, 即(4+9k2)x2+18k(1-k)x+9(1-k)2-36=0,由知,点P为CD的中点, 故方程的两根之和等于2,由,解得,此时△>0, 故所求直线CD的方程为4x+9y-13=0.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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