Question

在直角坐标系中，定义：，即（n∈N^*）为点P_n（x_n，y_n）到点P_n+1（x_n+1，y_n+1）的一个变换．我们把它称为点变换（或矩阵变换）．已知P₁（1，0）．
（1）求直线y=x在矩阵变换下的直线方程；
（2）设d_n=|OP_n|²（n∈N^*），求证：d_n为等比数列，并写出d_n的通项公式；
（3）设P₂（x₂，y₂）…，P_n（x_n+1，y_n+1）（n∈N^*）是经过点变换得到的一列点．求数列x_n，y_n的通项公式．

Answer

（1）（0，0）是变换中的不动点，（1，1）变成（2，0），所以直线y=0；
（2）因为==，据此可写出dn的通项公式；
（3）由，xn=xn-1+yn-1=xn-2+yn-2+xn-2-yn-2=2xn-2（n≥3），所以x1=1，x2=1，xn=2xn-2（n≥3），同理得y1=0，y2=1，yn=2yn-2（n≥3），由此可求出数列xn，yn的通项公式．
【解析】
（1）（0，0）是变换中的不动点，（1，1）变成（2，0），
所以直线y=x变成x轴，即直线y=0；
（2）（1）因为==
所以dn是首项为1，公比为2的等比数列，dn=2n-1；
（3）由，xn=xn-1+yn-1=xn-2+yn-2+xn-2-yn-2=2xn-2（n≥3），
所以x1=1，x2=1，xn=2xn-2（n≥3），同理得y1=0，y2=1，yn=2yn-2（n≥3），
则，．