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在直角坐标系中,定义:manfen5.com 满分网,即manfen5.com 满分网(n∈N*)为点Pn(xn,yn)到点Pn+1(xn+1,yn+1)的一个变换.我们把它称为点变换(或矩阵变换).已知P1(1,0).
(1)求直线y=x在矩阵变换下的直线方程;
(2)设dn=|OPn|2(n∈N*),求证:dn为等比数列,并写出dn的通项公式;
(3)设P2(x2,y2)…,Pn(xn+1,yn+1)(n∈N*)是经过点变换得到的一列点.求数列xn,yn的通项公式.
(1)(0,0)是变换中的不动点,(1,1)变成(2,0),所以直线y=0; (2)因为==,据此可写出dn的通项公式; (3)由,xn=xn-1+yn-1=xn-2+yn-2+xn-2-yn-2=2xn-2(n≥3),所以x1=1,x2=1,xn=2xn-2(n≥3),同理得y1=0,y2=1,yn=2yn-2(n≥3),由此可求出数列xn,yn的通项公式. 【解析】 (1)(0,0)是变换中的不动点,(1,1)变成(2,0), 所以直线y=x变成x轴,即直线y=0; (2)(1)因为== 所以dn是首项为1,公比为2的等比数列,dn=2n-1; (3)由,xn=xn-1+yn-1=xn-2+yn-2+xn-2-yn-2=2xn-2(n≥3), 所以x1=1,x2=1,xn=2xn-2(n≥3),同理得y1=0,y2=1,yn=2yn-2(n≥3), 则,.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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