Question

如图，底面为菱形的直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为A₁B₁、B₁C₁的
中点，G为DF的中点．
（1）求证：EF⊥平面B₁BDD₁；
（2）过A₁、E、G三点平面交DD₁于H，求证：EG∥MA₁．

Answer

（1）由E、F分别为A1B1、B1C1的中点，可得EF∥A1C1，由已知底面A1B1C1D1为菱形可得A1C1⊥DB，从而可得EF⊥DB①在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中易得DD1⊥EF②由①②根据直线与平面垂直的判定定理可证
（2）延长FE交D1A1的延长线于点H，连接DH，可证 HE=EF，结合已知G、E分别为DF、HF的中点，可得GE∥DH．根据线面平行的判定定理可得EG∥平面AA1D1D．再由线面平行的性质定理可得EG∥MA1．
（1）因为E、F分别为A1B1、B1C1的中点，所以EF∥A1C1，
因为底面A1B1C1D1为菱形，所以A1C1⊥B1D1，所以EF⊥B1D1．
因为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，所以DD1⊥平面A1B1C1D1，
又因为EF⊂平面A1B1C1D1，所以DD1⊥EF．
又B1D1∩DD1=D1，B1D1Ì平面B1BDD1，
DD1⊂平面B1BDD1，所以EF⊥平面B1BDD1．
（2）延长FE交D1A1的延长线于点H，连接DH，
因为E、F分别为A1B1、B1C1的中点，
所以△EFB1≌△EHA1，所以HE=EF，
在△FDH中，因为G、E分别为DF、HF的中点，
所以GE∥DH．
又GE∉平面AA1D1D，DH⊆平面AA1D1D，
故EG∥平面AA1D1D．因为过A1、E、G三点平面交DD1于M，
所以面A1MGE∩面AA1D1D=MA1，EG⊆面A1MGE，所以EG∥MA1．