Question

如图，在南北方向有一条公路，一半径为100m的圆形广场（圆心为O）与此公路一边所在直线l相切于点A．点P为北半圆弧（弧APB）上的一点，过P作直线l的垂线，垂足为Q．计划在△PAQ内（图中阴影部分）进行绿化．设△PAQ的面积为S（单位：m²）．
（1）设∠BOP=α（rad），将S表示为α的函数；
（2）确定点P的位置，使绿化面积最大，并求出最大面积．

Answer

（1）若∠BOP=α，则P点坐标（x，y）中，x=AQ=100sinα，y=PQ=100+100cosα，α∈（0，π），根据三角形面积公式，我们易将S表示为α的函数．
（2）由（1）中结论，我们可利用导数法，判断函数的单调性，进而求出函数的最大值，即最大绿化面积．
【解析】
（1）AQ=100sinα，PQ=100+100cosα，α∈（0，π），
则△PAQ的面积
=5000（sinα+sinαcosα），（0＜α＜π）．
（2）S/=5000（cosα+cos2α-sin2α）
=5000（2cos2α+cosα-1）
=5000（2cosα-1）（cosα+1），
令，cosα=-1（舍去），此时．
当关于α为增函数；
当关于α为减函数．
∴当时，（m2），此时PQ=150m．
答：当点P距公路边界l为150m时，绿化面积最大，