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已知定点A、B间的距离为2,以B为圆心作半径为2的圆,P为圆上一点,线段AP的垂...

已知定点A、B间的距离为2,以B为圆心作半径为2manfen5.com 满分网的圆,P为圆上一点,线段AP的垂直平分线l与直线PB交于点M,当P在圆周上运动时,点M的轨迹记为曲线C.
(1)建立适当的坐标系,求曲线C的方程,并说明它是什么样的曲线;
(2)试判断l与曲线C的位置关系,并加以证明.

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(1)以AB中点为坐标原点,直线AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0).设M(x,y),由题意:|MP|=|MA|,|BP|=2,所以|MB|+|MA|=2.由此能求出曲线C的方程. (2)直线l与曲线C的位置关系是相切. 证法一:由曲线C方程为x2+2y2=2,设P(m,n),则P在⊙B上,故(m-1)2+n2=8,即m2+n2=7+2m.由此入手能够证明直线l与曲线C相切. 证法二:在直线l上任取一点M',连接M'A,M'B,M'C,由垂直平分线的性质得|M'A|=|M'P|,,由此能够证明直线l与曲线C相切. 【解析】 (1)以AB中点为坐标原点,直线AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系, 则A(-1,0),B(1,0). 设M(x,y),由题意:|MP|=|MA|,|BP|=2, 所以|MB|+|MA|=2. 故曲线C是以A、B为焦点,长轴长为2的椭圆, 其方程为x2+2y2=2. (2)直线l与曲线C的位置关系是相切. 证法一:由(1)知曲线C方程为x2+2y2=2, 设P(m,n),则P在⊙B上,故(m-1)2+n2=8, 即m2+n2=7+2m. 当P、A、B共线时, 直线l的方程为x=±,显然结论成立. 当P、A、B不共线时, 直线l的方程为:, 整理得,. 把直线l的方程代入曲线C方程得:, 整理得[n2+2(m+1)2]x2-4(m+1)(m+3)x+2(m+3)2-2n2=0. △=[4(m+1)(m+3)]2-4[n2+2(m+1)2][2(m+3)2-2n2] =-8n2[(m+3)2-n2-2(m+1)2]=-8n2[-m2-n2+2m+7]=0. ∴直线l与曲线C相切.(说明:以A或B为原点建系亦可) 证法二:在直线l上任取一点M', 连接M'A,M'B,M'C, 由垂直平分线的性质得|M'A|=|M'P|, ∴ (当且仅当M、M'重合时取“=”号) ∴直线l与椭圆C有且仅有一个公共点M. ∴直线l与曲线C相切.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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