Question

如图，已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为4的正方形，S在底面上的射影O落在正方形ABCD内，且O到AB、AD的距离分别为2和1． P是SC上的点，．
（1）求证：OP∥平面SAD；
（2）求证：是定值．

Answer

（1）已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为4的正方形，在SD上取一点Q，使，只要证明四边形PQMO是平行四边形，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；
（2）设点O向BC所引的垂线段为ON，利用向量的乘法进行证明．
【解析】
（1）证明：在SD上取一点Q，使，
设点O向AD所引的垂线段为OM．则OM=1．连接PQ，QM．
∵=，
∴PQ∥CD．∵OM∥CD，∴PQ∥OM．∵，
∴PQ=1．∴四边形PQMO是平行四边形．
∴OP∥QM，∵QM⊂平面SAD，PO⊄平面SAD，
∴OP∥平面SAD．
（2）设点O向BC所引的垂线段为ON．
则ON=3，
∴=
=．
∴是定值．