Question

已知正数数列{a_n}中，a₁=2．若关于x的方程x2-（）x+=0（n∈N^×））对任意自然数n都有相等的实根．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）求证（n∈N^×）．

Answer

（1）由题意得△=an+1-2n-1=0，可得a2=5，a3=11．
（2）由于an+1=2an+1，所以数列an+1是以a1+1=3为首项，公比为2的等比数列，知数列是以为首项，公比为的等比数列，于是可以证明．
【解析】
（1）由题意得△=an+1-2n-1=0，即an+1=2an+1，进而可得a2=5，a3=11．
（2）由于an+1=2an+1，所以an+1=2（an+1），因为a1+1=3≠0，所以数列an+1是以a1+1=3为首项，公比为2的等比数列，知数列是以为首项，公比为的等比数列，于是=．