Question

已知数列a_n的前n项和，n∈N₊．
（1）求a_n的通项公式；
（2）设n∈N₊，集合A_n={y|y=a_i，i≤n，i∈N₊}，B={y|y=4m+1，m∈N₊}．现在集合A_n中随机取一个元素y，记y∈B的概率为p（n），求p（n）的表达式．

Answer

（1）直接根据an和Sn的关系：an=Sn-Sn-1 （n≥2）求解数列的通项公式（注意检验n=1是否成立）
（2）对i取奇数和偶数两种情况分别讨论求出对应的集合An，再求出对应的p（n）的表达式即可．
【解析】
（1）因为，n∈N+，所以．
两式相减，得，即，
∴an+1=3an，n∈N+．（3分）
又，即，所以a1=3．
∴an是首项为3，公比为3的等比数列．
从而an的通项公式是an=3n，n∈N+．（6分）
（2）设y=ai=3i∈An，i≤n，n∈N+．
当i=2k，k∈N+时，
∵y=32k=9k=（8+1）k=Ck8k+Ck18k-1++Ckk-18+Ckk=4×2（Ck8k-1+Ck18k-2++Ckk-1）+1，∴y∈B．（9分）
当i=2k-1，k∈N+时，
∵y=32k-1=3×（8+1）k-1=3×（Ck-18k-1+Ck-118k-2++Ck-1k-28+Ck-1k-1）
=4×6（Ck-18k-2+Ck-118k-3++Ck-1k-2）+3，∴y∉B．（12分）

又∵集合An含n个元素，
∴在集合An中随机取一个元素y，有y∈B的概率p（n）=．（14分）