Question

已知a＞0，函数f（x）=x|x-a|+1（x∈R）．
（1）当a=1时，求所有使f（x）=x成立的x的值；
（2）当a∈（0，3）时，求函数y=f（x）在闭区间[1，2]上的最小值；
（3）试讨论函数y=f（x）的图象与直线y=a的交点个数．

Answer

（1）把a=1代入f（x）=x|x-a|+1，解方程f（x）=x即可求得结果；
（2）去绝对值符号，，对a分情况讨论，0＜a≤1时，函数y=f（x）在区间[1，2]上递增，求出函数的最小值；当1＜a≤2时，f（x）min=f（a）=1；
当2＜a＜3时，x≤2＜a，数f（x）min=f（2）=2a-3；
（3）a＞0时，求出函数在各段上的函数的最值和单调性，即可对a进行分类讨论，即可求得结果．
【解析】
（1）当a=1时，有x|x-1|+1=x
所以x=-1或x=1；
（2），
1°．当0＜a≤1时，x≥1≥a，这时，f（x）=x2-ax+1，对称轴，
所以函数y=f（x）在区间[1，2]上递增，f（x）min=f（1）=2-a；
2°．当1＜a≤2时，x=a时函数f（x）min=f（a）=1；
3°．当2＜a＜3时，x≤2＜a，这时，f（x）=-x2+ax+1，对称轴，
f（1）=a，f（2）=2a-3，∵（2a-3）-a=a-3＜0
所以函数f（x）min=f（2）=2a-3；
（3）因为a＞0，所以，
所以y1=x2-ax+1在[a，+∞）上递增；y2=-x2+ax+1在递增，在上递减．
因为f（a）=1，所以当a=1时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有2个交点；
又，当且仅当a=2时，等号成立．
所以，当0＜a＜1时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有1个交点；
当a=1时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有2个交点；
当1＜a＜2时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有3个交点；
当a=2时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有2个交点；
当a＞2时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有3个交点．