Question

已知点C（4，0）和直线l：x=1，P是动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且，设P点的轨迹是曲线M．
（1）求曲线M的方程；
（2）点O是坐标原点，是否存在斜率为1的直线m，使m与M交于A、B两点，且若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由．

Answer

（1）先由 ．得 ．直接设出点P的坐标，代入整理即可求出点P所在曲线以及曲线的轨迹方程M；
（2）假设存在斜率为1的直线m：y=x+n，将直线的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，整理得13年n2-8n+76=0，因其判别式△＜0，所以不存在斜率为1的直线m满足题意．
【解析】
（1）由知，∴．（2分）
设P（x，y），代入上式得，（4分）
平方整理得．（6分）
（2）假设存在斜率为1的直线m：y=x+n，使m与M交于A、B两点，与．联立，
得2x2-2nx-（n2+12）=0．设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
∴，①（8分）
，∴，②（9分）
将②代入①得∴，（10分）
消去x1，整理得n2-8n+76=0，因其判别式△=82-4×13×76＜0
所以不存在斜率为1的直线m满足题意．（12分）