Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA=AD=CD=2AB．点E是PD的中点．
（I）求证：AE∥平面PBC；
（II）求证：平面ABE⊥平面PCD．

Answer

（I）取PC的中点F，连接BF，EF，根据中位线定理可知EF而AB∥CD，CD=2AB，可知四边形EFBA为平行四边形，从而AE∥BF而AE⊄平面PBC，BF⊂平面PBC，满足线面平行的判定定理，从而得证；
（II）根据线面垂直可证得AB⊥PA，而AB⊥AD，AD∩PA=A，根据线面垂直的判定定理可知AB⊥面PAD，而AE⊂平面PAD，根据线面垂直的性质定理可知AB⊥AE而AB∥CD，从而AE⊥CD，根据等腰三角形的性质可知AE⊥PD，而PD∩CD=D，则AE⊥平面PCD，而AE⊂平面ABE，满足面面垂直的判定定理所需条件．
【解析】
（I）取PC的中点F，连接BF，EF
∵点F为PC的中点，点E为PD的中点
∴EF而AB∥CD，CD=2AB．
∴EFEF即四边形EFBA为平行四边形
∴AE∥BF而AE⊄平面PBC，BF⊂平面PBC
∴AE∥平面PBC；
（II）∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD
∴AB⊥PA，而AB⊥AD，AD∩PA=A
∴AB⊥面PAD，而AE⊂平面PAD
∴AB⊥AE而AB∥CD
∴AE⊥CD
∵PA=AD，点E是PD的中点
∴AE⊥PD，而PD∩CD=D
∴AE⊥平面PCD
而AE⊂平面ABE
∴平面ABE⊥平面PCD