Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+2在x=1处的切线与直线x+3y+1=0垂直，
（I）若是函数f（x）的极值点，求f（x）的解析式；
（II）若函数f（x）在区间上单调递增，求实数b的取值范围．

Answer

（I）因为函数f（x）=x3+ax2+bx+2在x=1处的切线与直线x+3y+1=0垂直，且是函数f（x）的极值点，就可得到函数在x=1和x=处的函数值，代入导函数，就可求出参数a，b的值，得到函数解析式．
（II）先由（I）确定函数的解析式（只含参数b），再将函数f（x）在区间上单调递增问题转化为恒成立问题，即f′（x）≥0在区间上恒成立，最后利用参变分离法，通过求最值得参数b的取值范围
【解析】
（I）f（x）=x3+ax2+bx+2的导数为f′（x）=3x2+2ax+b．
∵f（x）在x=1处的切线与直线x+3y+1=0垂直，∴f（x）在x=1处的切线斜率为3
∴f′（1）=3，即3+2a+b=3  ①
又∵是函数f（x）的极值点，∴f′（）=0．
即++b=0  ②
由①②可得，a=2，b=-4
∴f（x）的解析式为f（x）=x3+2x2-4x+2
（II）若函数f（x）在区间上单调递增，则f′（x）≥0在区间上恒成立，
由（I）可知，2a+b=0，∴a=b，代入f′（x）=3x2+2ax+b，得f′（x）=3x2-bx+b
∴3x2-bx+b≥0在区间上恒成立．
∴b≤在区间上恒成立
令g（x）=，则g（x）==3（x-1）++6，
当x∈时，3（x-1）++6≥6+6=12，当且仅当x=2时，等号成立
∴当x∈时，g（x）有最小值为12，
∴b≤12