Question

已知椭圆C：的离心率，椭圆C上任一点到两个焦点的距离和为4，直线l过点P（1，0）与椭圆C交于不同的两点A，B．
（I）求椭圆C的方程；
（II） 若，试求实数λ的取值范围．

Answer

（I）由椭圆C：的离心率，解得，由此能求出椭圆C的方程．
（II）直线l过点P（1，0），当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程是x=1，此时，λ=1；当直线l的斜率k存在时，设l的方程是y=k（x-1），当k=0时，λ取最大值3或取最小值．
【解析】
（I）∵椭圆C：的离心率，
椭圆C上任一点到两个焦点的距离和为4，
∴，
解得，
∴椭圆C的方程为：．
（II）∵直线l过点P（1，0），
①当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程是x=1，
此时，λ=1；
②当直线l的斜率k存在时，设l的方程是y=k（x-1），
由，得（4k2+1）x2-8k2x+4k2-4=0，
△=64k4-4（4k2+1）（4k2-4）=48k2+16＞0，直线与圆恒有公共点，下对参数的取值范围进行讨论
当k=0时，A（2，0），B（-2，0），P（1，0），或B（2，0），A（-2，0），P（1，0），
当A（2，0），B（-2，0），P（1，0）时，
，
λmin==；
当B（2，0），A（-2，0），P（1，0）时，

λmax==3．
∴实数λ的取值范围是[，3]．
故实数λ的取值范围是[，3]．