Question

设a₁，a₂，…，a_n为1，2，…，n按任意顺序做成的一个排列，f_k是集合{a_i|a_i＜a_k，i＞k}元素的个数，而g_k是集合{a_i|a_i＞a_k，i＜k}元素的个数（k=1，2，…，n），规定f_n=g₁=0，例如：对于排列3，1，2，f₁=2，f₂=0，f₃=0
（I）对于排列4，2，5，1，3，求
（II）对于项数为2n-1 的一个排列，若要求2n-1为该排列的中间项，试求的最大值，并写出相应得一个排列
（Ⅲ）证明．

Answer

（I）直接按定义来操作，根据fk是集合{ai|ai＜ak，i＞k}元素的个数，看出符合条件的元素的个数，得到结果．
（II）（II）当项数为2n-1 的一个排列，2n-1为该排列的中间项，前面有n项，后面有n项，要求的最大值，只要使得排列满足n到2n-2排列到2n-1的前面，1到n-1排列到2n-1的后面，得到结果．
（III）fk是集合{ai|ai＜ak，i＞k}元素的个数，而gk是集合{ai|ai＞ak，i＜k}元素的个数（k=1，2，…，n），规定fn=g1=0，依次得到fn-1=g2，…，得到各项之和相等．
【解析】
（I）∵排列4，2，5，1，3，
fk是集合{ai|ai＜ak，i＞k}元素的个数，
∴f1=3，f2=1，f3=2，f4=0，f5=0，
∴=3+1+2+0+0=6．
（II）当项数为2n-1 的一个排列，
2n-1为该排列的中间项，前面有n项，后面有n项，
∴要求的最大值，只要使得排列满足n到2n-2排列到2n-1的前面，1到n-1排列到2n-1的后面，
∴g1=0，g2=1，g3=2，…g2n-1=2n-2，
∴的最大值是=（2n-1）（n-1）
比如举一个包含7项的数列：6，5，4，7，3，2，1
（III）∵fk是集合{ai|ai＜ak，i＞k}元素的个数，
而gk是集合{ai|ai＞ak，i＜k}元素的个数（k=1，2，…，n），
规定fn=g1=0，
∴fn-1=g2
fn-2=g3
…
∴f1=gn．
∴