Question

已知方向向量为的直线l过点和椭圆的右焦点，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆C的方程：
（2）若已知点M，N是椭圆C上不重合的两点，点D（3，0）满足，求实数λ的取值范围．

Answer

（1）先利用条件求出直线l的方程，找出椭圆的右焦点坐标，再利用椭圆的离心率为，就可求出椭圆C的方程：
（2）把直线MN的方程与椭圆方程联立找到关于点M，N纵坐标的方程，再利用所给出的点M，N纵坐标之间的关系，二者联立借助与判别式大于0就可求实数λ的取值范围．
【解析】
（1）因为直线l的方向向量为所以直线斜率为k=，
又因为直线过点
所以直线方程为y+2=x
因为a＞b，所以椭圆的右焦点为直线与轴的交点，∴椭圆的右焦点为（2，0），所以c=2
∵e==，∴a=，∴b2=a2-c2=2
∴椭圆方程为+=1
（2）由已知设直线MN的方程为x=my+3，
由⇒（m2+3）y2+6my+3=0，设M．N坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）
则y1+y2=-   ①y1y2=     ②
△=36m2-12（m2+3）＞0⇒m2＞
∵=（x1-3，y1），=（x2-3，y2），，显然λ＞0且λ≠1
∴（x1-3，y1）=λ（x2-3，y2）∴y1=λy2，
代入①②得  =-2=10-，
∵m2＞⇒2＜＜10⇒
解得5-2＜λ＜5+2且λ≠1