Question

袋子A和B中分别装有若干个质地均匀，大小相同的红球和白球，从A中摸出一个球，得到红球的概率是，从B中摸出一个球，得到红球的概率为p．
（Ⅰ）若A，B两个袋子中的球数之比为1：3，将A，B中的球混装在一起后，从中摸出一个球，得到红球的概率是，求p的值；
（Ⅱ）从A中有放回地摸球，每次摸出一个，若累计三次摸到红球即停止，最多摸球5次，5次之内（含5次）摸到红球的次数为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

Answer

（I）由题意设A中有x个球，B中有y个球，由于A，B两个袋子中的球数之比为1：3，且从A中摸出一个球，得到红球的概率是，从B中摸出一个球，得到红球的概率为p，利用条件得方程解之得；
（II）由于从A从A中有放回地摸球，每次摸出一个，若累计三次摸到红球即停止，最多摸球5次，5次之内（含5次）摸到红球的次数为随机变量ξ中摸到一个红球的概率为，所以可以得知：ξ的取值为0，1，2，利用二项分布及期望定义即可求得．
【解析】
（1）解设A中有x个球，B中有y个球，由题意知且解得：
（2）由题意知从A中摸到一个红球的概率为，ξ的取值为0，1，2，3

ξ 1 2 3

P

．