Question

如图，已知直线L：的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、B在直线G：x=a²上的射影依次为点D、E．
（1）若抛物线的焦点为椭圆C 的上顶点，求椭圆C的方程；（2）（理科生做）连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；
否则说明理由．
（文科生做）若为x轴上一点，求证：．

Answer

（1）先由已知得b=以及c=1，即可求出椭圆C的方程；
（2）（理科生做）先让m取0，求出点N的坐标，再猜想：当m变化时，AE与BD相交于此定点N．先利用斜率相等证明A、N、E三点共线同理可得B、N、D三点共线，即可证明结论．
（文科生做）直接求直线AN和直线NE的斜率，利用上面的过程得到二者斜率相等即可证明结论．
【解析】
（1）易知b=⇒b2=3，
又F（1，0），c=1，∴a2=b2+c2=4．
所以椭圆C的方程为：=1．
（2）（理科生做）因为F（1，0），k=（a2，0）
先探索，当m=0时，直线L⊥ox轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交于FK中点N，且
猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点．
证明：设设A（x1，y1），B（x2，y2），E（a2，y2），D（a2，y1），
当m变化时首先AE过定点N．
由⇒（a2+b2m2）y2+2mb2y+b2（1-a2）=0．△4a2b2（a2+m2b2-1）＞0，（因为a＞1）
且．y1+y2=-   ①，y1•y2=    ②．
因为KAN=，KEN=，
所以kAN-KEN=    ③，
把①②代入③整理得KAN-KEN=0．
∴KAN=KEN∴A、N、E三点共线同理可得B、N、D三点共线
∴AE与BD相交于定点．
（文科生做）．直接求出直线AN和直线NE的斜率，利用上面的推导过程可以得到二者斜率相等，故A、N、E三点共线．即可得：．