Question

在△ABC中，sinA+cosA=，sinB-cosB=，BC=2．
（Ⅰ）求∠C；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer

（Ⅰ）把已知的第一个等式左右两边平方，左边利用完全平方公式展开后，再利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，可得出sin2A的值，同时根据等式判断得出A为锐角，可得出2A的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，再把第二个等式左边提取，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，得出sin（B-45°）的值，由A的范围得出B的范围，进而求出B-45°的范围，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，进而利用三角形的内角和定理即可求出C的度数；
（Ⅱ）由C和A的度数，求出sinC和sinA的值，再由BC的长，利用正弦定理求出AB的长，再把B的度数分为两个特殊角45°+60°，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出sinB的值，由sinB，AB及BC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
【解析】
（Ⅰ）由sinA+cosA=平方得：
sin2A+cos2A+2sinAcosA=1+sin2A=2，即sin2A=1，
又sinA+cosA=＞1，∴cosA＞0，即0＜A＜90°，
∴0＜2A＜180°，
∴2A=90°，A=45°，…（2分）
由sinB-cosB=sin（B-45°）=得：sin（B-45°）=，
由A=45°，可得0＜B＜135°，
∴-45°＜B-45°＜90°，
∴B-45°=60°，解得：B=105°，…（4分）
∴C=180°-（45°+105°）=30°；   …（5分）
（Ⅱ）∵sinC=sin30°=，sinA=sin45°=，BC=2，
∴由得：AB=BC•=，…（7分）
又sinB=sin105°=sin（45°+60°）
=sin45°cos60°+cos45°sin60°
=，…（9分）
则△ABC的面积S=BA•BC•sinB=×=．…（10分）