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如图,已知曲线C:manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网.从C上的点Qn(xn,yn)作x轴的垂线,交Cn于点Pn,再从点Pn作y轴的垂线,交C于点Qn+1(xn+1,yn+1),设x1=1,an=xn+1-xn,bn=yn-yn+1
(Ⅰ)求Q1,Q2的坐标;
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅲ)记数列{an•bn}的前n项和为Sn,求证:manfen5.com 满分网

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(I)由Qn(xn,yn),Qn+1(xn+1,yn+1),知点Pn的坐标为(xn,yn+1),由此能求出点Q1、Q2的坐标; (II)由Qn,Qn+1在曲线C上,知,,由Pn在曲线Cn上,知,由此能求出数列{an} 的通项公式; (III)由xn=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+…+(x2-x1)+x1=2-(n-1)+2-(n-2)+…+2-1+1==2-21-n,知an•bn=(xn+1-xn)•(yn-yn+1)===,由此入手能够证明sn<. (I)【解析】 ∵Qn(xn,yn),Qn+1(xn+1,yn+1), ∴点Pn的坐标为(xn,yn+1) ∵x1=1∴y1=1,∴Q1(x1,y1)即Q1(1,1) ,令x=1则y2= ∴P1的坐标为(x1,y2)即(1,) 令=得x2= ∴Q2(x2,y2)即Q1(,).-----------------------------------(2分) (II)【解析】 ∵Qn,Qn+1在曲线C上, ∴,, 又∵Pn在曲线Cn上, ∴,--------------------------------(4分) ∴xn+1=xn+2-n, ∴an=2-n.-----------------------------------------(6分) (III)证明:xn=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+…+(x2-x1)+x1 =2-(n-1)+2-(n-2)+…+2-1+1 = =2-21-n.-------------------(9分) ∴an•bn=(xn+1-xn)•(yn-yn+1)===, ∵2•2n-2≥2n,2•2n-1≥3, ∴.--------------------------------(12分) ∴Sn=a1b1+a2b2+…+anbn -----------------------(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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