Question

已知函数，数列{a_n}满足：2a_n+1-2a_n+a_n+1a_n=0且a_n≠0．数列{b_n}中，b₁=f（0）且b_n=f（a_n-1）
（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列{|b_n|}的前n项和T_n；
（3）是否存在自然数n，使得（2）中的T_n∈（480，510）．若存在，求出所有的n；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由2an+1-2an+an+1an=0，得，由此能够证明数列是等差数列．
（2）由b1=f（0）=5，知，7a1-2=5a1，所以a1=1，，所以 .．由此能求出Tn．
（3）不存在这样的自然数．如果存在必定n＞7，而在n＞7时Tn是递增的，而n=36时，Tn=480，n=37时，Tn=511，所以不存在这样的自然数．
【解析】
（1）由2an+1-2an+an+1an=0，
得，
所以，数列是等差数列．
（2）∵b1=f（0）=5，
∴，
7a1-2=5a1，
∴a1=1，，
∴.．
当n≤6时，，
当n≥7时，．
所以，
（3）不存在这样的自然数．
如果存在必定n＞7，
而在n＞7时Tn是递增的，
而n=36时，
Tn=480，
n=37时，Tn=511，
所以不存在这样的自然数．