Question

已知椭圆方程为x²+=1，射线y=2x（x≥0）与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A、B两点（异于M）．
（1）求证直线AB的斜率为定值；
（2）求△AMB面积的最大值．

Answer

（1）设k＞0，求得M的坐标，则可表示出AM的直线方程和BM的直线方程，分别与椭圆的方程联立求得xA和xB，进而求得AB的斜率．
（2）设出直线AB的方程与椭圆方程联立消去y，利用判别式大于0求得m的范围，进而表示出三角形AMB的面积，利用m的范围确定面积的最大值．
【解析】
（1）∵斜率k存在，不妨设k＞0，求出M（，2），
直线MA方程为y-2=k（x-），直线MB方程为y-2=-k（x-）．
分别与椭圆方程联立，可解出xA=-，xB=-．
则yA=2-k（x-），yB=2+k（x-），
kAB==2；
∴kAB=2（定值）．
（2）设直线AB方程为y=2x+m，与x2+=1联立，消去y得16x2+4mx+（m2-8）=0
由△＞0得-4＜m＜4，且m≠0，点M到AB的距离d=．
设△AMB的面积为S．∴S2=|AB|2d2=m2（16-m2）≤•=2．
当m=±2时，得Smax=．