Question

已知实系数方程x²+（a+1）x+a+b+1=0的两根分别为一个椭圆和一个双曲线的离心率，则的取值范围是（ ）
A．（-2，-1）
B．
C．
D．（-2，+∞）

Answer

实系数方程x2+（a+1）x+a+b+1=0的两个根x1，x2分别作为椭圆和双曲线的离心率，根据判别式大于0，令a为横轴，b为纵轴，建立平面直角坐标系，作出这三个不等式所对应的平面区域S，设P（a，b）是平面区域S内的任意一点，A（-1，1），则可知的几何意义是直线的斜率，进而可求得范围．
【解析】
f（x）=x2+（a+1）x+（a+b+1）
依题意f（x）=0的两个根x1，x2分别作为椭圆和双曲线的离心率
故 0＜x1＜1＜x2
根据一元二次方程根的分布，可得关于实系数a，b的约束条件：
判别式=（a+1）2-4（a+b+1）=（a-1）2-4b-4＞0
f（0）=a+b+1＞0，f（1）=2a+b+3＜0
令a为横轴，b为纵轴，建立平面直角坐标系，作出这三个不等式所对应的平面区域S，
设P（a，b）是平面区域S内的任意一点，A（-1，1），k=
则k的几何意义是直线PA的斜率．
作图，得-2＜k＜-
故选C