Question

在正四棱锥S-ABCD中，侧面与底面所成角为，则它的外接球的半径R与内径球半径r的比值为（ ）
A．5
B．
C．10
D．

Answer

由题意通过侧面与底面所成角为，设出正四棱锥的底面边长，求出斜高，侧棱长，求出内切球的半径与正四棱锥底面边长的关系；利用外接球的球心与正四棱锥的高在同一条直线，结合勾股定理求出，外接球的半径与底面边长的关系，即可得到比值．
【解析】
由于侧面与底面所成角为，可知底面边长与两个对面斜高构成正三角形，设底面边长为a，则斜高也为a，进而可得侧棱长为
，高为
四棱锥的内切球半径就是上述正三角形的内切圆半径为，
其外接球球心必在顶点与底面中心连线上，半径为R，球心为O，顶点为P，底面中心为O1，底面一个顶点为B，则OB=OP，

于是就有：（-R）2+（）2=R2
解得R=．
所以两者的比为：．
故选D