Question

已知矩形ABCD中，，BC=1，现沿对角线BD折成二面角C-BD-A，使AC=1（如图）．
（I）求证：DA⊥面ABC；
（II）求二面角C-BD-A平面角的大小．

Answer

（I）由已知AC=AD=1，DC=AB=可得AC⊥AD①AD⊥AB②，由①②根据线面垂直的判定定理可证DA⊥面ABC
（II）（法一：三垂线法）由（I）可得平面ABC⊥平面ABD．取AB中点M，则面面垂直的性质定理可得CM⊥平面ABD，作MN⊥BD，从而可用三垂线法作出二面角的平面角∠CMN，再直角三角形△CMN中求解
（法二：定义法）同法一可得CM⊥平面ABD，由已知AB⊥AC，考虑取BD的中点H，则可得MN∥AD，从而有MH⊥AB，然后利用空间向量的方法：分别以AB，MH，MC为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设平面BCD的一个法向量，平面ABD的一个法向量为，代入公式求解即可．
【解析】
（I）∵，
∴AC2+AD2=CD2，∴DA⊥AC．（3分）
又∵DA⊥AB，∴AB∩AC=A∴DA⊥平面ABC．（6分）
（II）方法一：取AB中点M，连CM，
过M作MN⊥BD交BD于N，
连CN．∵CA=CB=1，∴CM⊥AB，
∵DA⊂平面ABD，DA⊥平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ABD．（8分）
∴CM⊥平面ABD，∴CM⊥BD．
又∵MN⊥BD，MN∩CM=M
∴BD⊥平面CMN，
∴∠CNM为二面角C-BD-A的平面角．（10分）
∴，，
，∴∠CNM=60°，
故二面角C-BD-A平面角的度数为60°．（12分）

方法二：取AB中点M，连CM．
∵AC=AB=1，∴CM⊥AB．
又∵平面ABC⊥平面ABD，∴CM⊥平面ABD．
取BD中点H，∴MH∥AD．
∵AD⊥AB，∴MH⊥AB．
分别以AB，MH，MC为x，y，z轴建立空间直角坐标系．（6分）
得，
∴．（8分）
设平面BCD的法向量为，
∴．（10分）
又∵平面ABD的法向量为，
∴
显然二面角C-BD-A为锐角，所以它的大小为60°．（12分）