Question

若数列{an}的前n项和Sn是（1+x）ⁿ二项展开式中各项系数的和（n=1，2，3，…）．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足b₁=-1，b_n+1=b_n+（2n-1），且，求数列{cn}的通项及其前n项和Tn．
（3）求证：T_n•T_n+2＜T_n+1²．

Answer

（1）能利用an与Sn之间的关系得到an的通项公式．
（2）会根据递推公式求出bn的通项公式，并根据bn与cn关系求通项公式及前n项和．
（3）两式作差后根据其特点利用数学归纳法进行证明．
【解析】
（1）由题意Sn=2n，Sn-1=2n-1（n≥2），
两式相减得an=2n-2n-1=2n-1（n≥2）．
当n=1时，2×1-1=1≠S1=a1=2
∴．
（2）∵bn+1=bn+（2n-1），∴b2-b1=1，b3-b2=3，b4-b3=5，
bn-bn-1=2n-3．以上各式相加得：
bn-b1=1+3+5+…+（2n-3）=
∵b1=-1，∴bn=n2-2n
∴．
∴Tn=-2+0×21+1×22+2×23+3×24+…+（n-2）2n-1
∴2Tn=-4+0×22+1×23+2×24+…+（n-2）2n．
∴-Tn=2+22+23++2n-1-（n-2）2n=
∴Tn=-2n+2+（n-2）2n=2+（n-3）2n．
∴Tn=2+（n-3）2n．当n=1时T1=-2也适合上式．
∴Tn=2+（n-3）2n
（3）证明：Tn•Tn+2-Tn+12=[2+（n-3）•2n]•[2+（n-1）•2n+2]-[2+（n-2）•2n+1]2
=4+（n-1）•2n+3+（n-3）•2n+1+（n-1）（n-3）•22n+2-[4+（n+2）（n+2）•22n+2+（n-2）•2n+3]
=2n+1[（n+1）-2n+1]
∵2n+1＞0，∴需证明n+1＜2n+1，用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，1+1＜21+1成立．
②假设n=k时，命题成立即k+1＜2k+1，
那么，当n=k+1时，（k+1）+1＜2k+1+1＜2k+1+2k+1=2•2k+1=2（k+1）+1成立．
由①、②可得，对于n∈N*都有n+1＜2n+1成立．
∴2n+1[（n+1）-2n+1]＜0
∴Tn•Tn+2＜Tn+12