Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．

Answer

（I）先求出函数的定义域，然后求导数，根据导函数的正负判断函数的单调性进而可求出最小值．
（II）若2f（x）≥g（x），则a≤2lnx+x+，构造函数h（x）=2lnx+x+，则a≤hmin（x），进而得到实数a的取值范围；
（Ⅲ）对一切x∈（0，+∞），都有成立，即，结合（1）中结论可知lnx•x≥，构造新函数m（x）=，分析其最大值，可得答案．
【解析】
（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导数f'（x）=1+lnx．
令f'（x）＞0，解得x＞；
令f'（x）＜0，解得0＜x＜．
从而f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．
所以，当x=时，f（x）取得最小值-．
（II）若2f（x）≥g（x），则a≤2lnx+x+，
设h（x）=2lnx+x+，
则h′（x）=+1-==
∵x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
∴h（x）min=h（1）=4
故a≤4
即实数a的取值范围为（-∞，4]
证明：（III）若
则，
由（I）得：lnx•x≥，当且仅当x=时，取最小值；
设m（x）=，则m′（x）=，
∵x∈（0，1）时，m′（x）＞0，h（x）单调递增，
x∈（1，+∞）时，m′（x）＜0，h（x）单调递减，
故当x=1时，h（x）取最大值
故对一切x∈（0，+∞），都有成立．