Question

如图所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将△ADE向上折起，使D到P点位置，且PC=PB，F是BP的中点．
（Ⅰ）求证：CF∥面APE；
（Ⅱ）求证：PO⊥面ABCE．

Answer

（Ⅰ）欲证CF∥面APE，而FC⊂平面FGC，可先证平面APE∥平面FGC，取AB中点G，连接GF，GC，易证四边形AECG为平行四边形，则AE∥GC，而GF∥AP，GF∩GC=G，AE∩AP=A，满足面面平行的判定定理所需条件；
（Ⅱ）欲证PO⊥面ABCE，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证PO与面ABCE内两相交直线垂直，取BC的中点H，连OH，PH，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥面POH，则BC⊥PO，而PO⊥AE，又BC与AE相交满足定理条件．
【解析】
（Ⅰ）取AB中点G，连接GF，GC，∵EC∥AG，EC=AG，∴四边形AECG为平行四边形，∴AE∥GC，（2分）
在△ABP中，GF∥AP（3分）
又GF∩GC=G，AE∩AP=A
所以平面APE∥平面FGC（5分）
又FC⊂平面FGC
所以，CF∥面APE（6分）
（Ⅱ）PA=PE，OA=OE∴PO⊥AE
取BC的中点H，连OH，PH，∴OH∥AB，∴OH⊥BC
因为PB=PC∴BC⊥PH，所以BC⊥面POH
从而BC⊥PO（10分）
又AB和CE平行且不相等，∴BC与AE相交，
∴PO⊥面ABCE（12分）