Question

已知数列{a_n}的前n项的和S_n=n²+2n，数列{b_n}是正项等比数列，且满足a₁=2b₁，b₃（a₃-a₁）=b₁．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项的和．

Answer

（Ⅰ）直接利用an=Sn-Sn-1 （n≥2）即可求数列{an}的通项公式，（注意检验首项是否适合）；再代入a1=2b1，b3（a3-a1）=b1即可求{bn}的通项公式；
（Ⅱ）先整理出数列{cn}的通项公式，再对数列{cn}利用错位相减法求和即可．
解（1）数列{an}前n项的和Sn=n2+2n∴an=Sn-Sn-1=2n+1（n∈N，n≥2）（2分）
又an=S1=3，
所以数列{an}的通项公式为an=2n+1（n∈N*）（3分）
因为数列{bn}是正项等比数列，，∴，（4分）
公比为，（5分）
数列{bn}的通项公式为（6分）
（2）所以，设数列{cn}的前n项的和为Tn…
+…+（2n-1）+（2n+1）]
…+

∴（12分）