Question

已知函数：f（x）=lnx-ax-3（a≠0）
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若对于任意的a∈[1，2]，若函数在区间（a，3）上有最值，
求实数m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）对f（x）求导，，分a＞0，a＜0两种情况写出函数的单调区间；
（Ⅱ）对函数g（x）求导得g'（x）=3x2+（m+2a）x-1，根据g（x）在区间（a，3）上有最值，得到g（x）在区间（a，3）上总不是单调函数，从而得到，另由对任意a∈[1，2]，g'（a）=3a2+（m+2a）•a-1=5a2+ma-1＜0恒成立，分离参数即可求得实数m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由已知得f（x）的定义域为（0，+∞），且，（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为，减区间为；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），无减区间；（6分）
（Ⅱ），∴g'（x）=3x2+（m+2a）x-1，
∵g（x）在区间（a，3）上有最值，
∴g（x）在区间（a，3）上总不是单调函数，
又（9分）
由题意知：对任意a∈[1，2]，g'（a）=3a2+（m+2a）•a-1=5a2+ma-1＜0恒成立，∴，因为a∈[1，2]，所以∴，
对任意a∈[1，2]，g'（3）=3m+26+6a＞0恒成立，∴∴（12分）