Question

直线l：y=k（x-1）过已知椭圆经过点（0，），离心率为，经过椭圆C的右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x=4上的射影依次为点D、K、E．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且，当直线l的倾斜角变化时，探求λ+μ的值是否为定值？若是，求出λ+μ的值，否则，说明理由；
（Ⅲ）连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．

Answer

（Ⅰ）由题设知，因为a2=b2+c2a2=4，c2=1，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线l方程y=k（x-1），且l与y轴交于M（0，-1），设直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），由得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，再由韦达定理结合题设条件能够推导出当直线l的倾斜角变化时，λ+μ的值为定值．
（Ⅲ）当直线l斜率不存在时，直线l⊥X轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK的中点猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点．
证明：由A（x1，y1），B（x2，y2），知D（4，y1），E（4，y2）．当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点再证点也在直线lBD上；所以当m变化时，AE与BD相交于定点．
【解析】
（Ⅰ）由题设知，因为a2=b2+c2a2=4，c2=1，∴椭圆C的方程（3分）
（Ⅱ）易知直线l的斜率存在，设直线l方程y=k（x-1），且l与y轴交于M（0，-k），设直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）
由得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，
∴（6分）
又由，
∴（x1，y1）=λ（1-x1，-y1），
∴，同理∴（8分）
∴
所以当直线l的倾斜角变化时，λ+μ的值为定值；（10分）
（Ⅲ）当直线l斜率不存在时，直线l⊥X轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK的中点
猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点（11分）
证明：由（Ⅱ）知A（x1，y1），B（x2，y2），∴D（4，y1），E（4，y2）
当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点∵
当时，==∴点在直线lAE上，同理可证，点也在直线lBD上；∴当m变化时，AE与BD相交于定点