Question

已知下列命题：（1）已知函数（p为常数且p＞0），若f（x）在区间（1，+∞）的最小值为4，则实数p的值为； （2）；（3）正项等比数列{a_n}中：a₄．a₆=8，函数f（x）=x（x+a₃）（x+a₅）（x+a₇），则；（4）若数列{a_n}的前n项和为S_n=2n²-n+1，且b_n=2a_n+1，则数列{b_n}前n项和为T_n=4n²-n+2上述命题正确的序号是    ．

Answer

①将函数f（x）配成基本不等式的形式，然后利用基本不等式的性质进行求解．②根据，可知该命题是假命题；③利用等比数列的性质和定义，分别求出a5=2，a3=，a7=4，对函数f（x）=x（x+a3）（x+a5）（x+a7）求导，即可求得，④根据题意bn=2an+1，可得Tn=b1+b2+b3+…+bn=2a1+2a2+2a3+…+2an+n，整体代入即可求得结果．
【解析】
①∵函数 =x-1++1≥2 +1（当且仅当x-1=等号成立），
∴2 +1=4，∴p=，∴（x-1）=，解得x=或-，∴实数p=，故该命题是真命题；
②∵，∴是假命题；
③∵a4．a6=8，∴a5=2，a3=，a7=4，
∵f′（x）=（x+a3）（x+a5）（x+a7）+x（x+a5）（x+a7）+x（x+a3）（x+a7）+x（x+a3）（x+a5），
∴f′（0）=a3•a5•a7，故正确；
④∵bn=2an+1，数列{an}的前n项和为Sn=2n2-n+1，
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=2a1+2a2+2a3+…+2an+n
=2Sn+n=4n2-n+2，故正确；
故答案为①③④．