Question

已知数列{a_n}，b_n满足：．
（1）求b₁，b₂，b₃，b₄；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）设S_n=a₁•a₂+a₂•a₃+…+a_n•a_n+1，若4a•S_n＞b_n对n∈N^*恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）先由，得出，又从而求b1，b2，b3，b4的值；（2）由两边同减去1，得，对上式取倒数，则数列是以-4为首项，-1为公差的等差数列，最后利用等差数列的通项公式即可求数列{bn}的通项公式；
（3）由（2）知，而，利用拆项法求得Sn，又因4a•Sn＞bn对n∈N*恒成立，有最后利用分离参数a的方法即可求得实数a的取值范围．
【解析】
（1）∵，∴（*），
∴
（2）由两边同减去1，得
对上式取倒数，得，又
则数列是以-4为首项，-1为公差的等差数列，
∴，即，
∴
（3）由（2）知，而
又Sn=a1•a2+a2•a3++an•an+1，则有
又因4a•Sn＞bn对n∈N*恒成立，则有即
对n∈N*恒成立．
设函数，
则
所以g（n）是单调递减，则当n=1时，g（n）取得最大值为∴4a＞4+11即
所以实数a的取值范围为．