Question

已知函数．
（1）当x≥1时，证明：不等式f（x）≤x+lnx恒成立；
（2）若数列{a_n}满足，证明数列{b_n}是等比数列，并求出数列{b_n}、{a_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若c_n=a_n•a_n+1•b_n+1（n∈N⁺），证明：c₁+c₂+c₃+…c_n＜．

Answer

（1）方法一：先证明f（x）-x≤0，再证明lnx≥0，从而不等式f（x）≤x+lnx恒成立．
方法二：构造函数φ（x）=f（x）-x-lnx；利用导数判断单调性，求出函数最大值φ（1），而φ（1）=0，从而不等式恒成立．
（2）先利用an+1=f（an）通过取倒数变形，然后根据等比数列的定义，求出公比，从而证得．
（3）利用（2）问中求出的{an}的通项公式，代入cn=an•an+1•bn+1中，并用分离法拆成两项之差，然后用叠加法即可解答．
【解析】
（1）方法一：∵x≥1，∴
而x≥1时，lnx≥0∴x≥1时，f（x）-x≤lnx，∴当x≥1时，f（x）≤x+lnx恒成立．
方法二：令φ（x）=f（x）-x-lnx（x≥1），，，∵x≥1，∴，∴，
故φ（x）是定义域[1，+∞）上的减函数，∴当x≥1时，φ（x）≤φ（1）=0恒成立．
即当x≥1时，恒成立．∴当x≥1时，f（x）≤x+lnx恒成立．（4分）
（2）an+1=f（an），∴，∵，
∴=，
又，∴bn是首项为，公比为的等比数列，其通项公式为．
又，．（10分）
（3）cn=an•an+1•bn+1=，．