Question

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由题意知，能够导出．再由可以导出椭圆C的方程为．
（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x-4）．由得（4k2+3）x2-32k2x+64k2-12=0，再由根与系数的关系证明直线AE与x轴相交于定点Q（1，0）．
（Ⅲ）分MN的斜率存在与不存在两种情况讨论，当过点Q直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=m（x-1），且M（xM，yM），N（xN，yN）在椭圆C上．由得（4m2+3）x2-8m2x+4m2-12=0．再由根据判别式和根与系数的关系求解的取值范围；当过点Q直线MN的斜率不存在时，其方程为x=1，易得M、N的坐标，进而可得的取值范围，综合可得答案．
【解析】
（Ⅰ）由题意知，
所以．
即．
又因为，
所以a2=4，b2=3．
故椭圆C的方程为．
（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x-4）．
由得（4k2+3）x2-32k2x+64k2-12=0．①
设点B（x1，y1），E（x2，y2），则A（x1，-y1）．
直线AE的方程为．
令y=0，得．
将y1=k（x1-4），y2=k（x2-4）代入，
整理，得．②
由①得，代入②
整理，得x=1．
所以直线AE与x轴相交于定点Q（1，0）．
（Ⅲ）当过点Q直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=m（x-1），且M（xM，yM），N（xN，yN）在椭圆C上．
由得（4m2+3）x2-8m2x+4m2-12=0．
易知△＞0．
所以，，．
则=．
因为m2≥0，所以．
所以．
当过点Q直线MN的斜率不存在时，其方程为x=1．
解得，N（1，）或M（1，）、N（1，-）．
此时．
所以的取值范围是．