Question

已知p：∀x＞0，x²-ax+1＞0，q：a≤2，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分条件也不必要条件

Answer

首先将条件p化简，根据二次函数的单调性结合分类讨论的方法进行化简，可得条件p：∀x＞0，x2-ax+1＞0，即p：a＜2．再结合充分必要性的定义，进行正反推出论证，不难得到正确答案．
【解析】
先化简条件p：∀x＞0，x2-ax+1＞0．
可化为F（x）=x2-ax+1在（0，+∞）的最小值大于零
①当时，即a≤0时，
函数F（x）在区间（0，+∞）上为增函数，F（x）min＞F（0）=1，不等式显然成立；
②当时，即a＞0时，
F（x）min=F（）=1-＞0，得0＜a＜2
综上所述，条件p：a＜2
由此可得，当条件p：a＜2成立时，必定有条件q：a≤2成立，说明充分性成立；
当条件q：a≤2成立时，有可能a=2，不一定有条件p：a＜2成立，因此没有必要性．
所以p是q的充分不必要条件
故选A