Question

设x₁，x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点．
（1）若x₁=-1，x₂=2，求函f（x）的解析式；
（2）若|x₁|+|x₂|=2，求b的最大值．

Answer

（1）求出f′（x），因为x1、x2是函数f（x）的两个极值点，而x1=-1，x2=2所以得到f′（-1）=0，f′（2）=0代入求出a、b即可得到函数解析式；
（2）因为x1、x2是导函数f′（x）=0的两个根，利用根与系数的关系对已知进行变形得到a和b的等式，求出b的范围，设h（a）=3a2（6-a），求出其导函数，利用导数研究函数的增减性得到h（a）=的极大值，开方可得b的最大值．
【解析】
（1）f'（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0）．
∵x1=-1，x2=2是函数f（x）的两个极值点，
∴f'（-1）=0，f'（2）=0．
∴3a-2b-a2=0，12a+4b-a2=0，
解得a=6，b=-9．
∴f（x）=6x3-9x2-36x…（4分）
（2）∵x1，x2是函数f（x）的两个极值点，
∴f'（x1）=f'（x2）=0．
∴x1，x2是方程3ax2+2bx-a2=0的两根．
∴，，
∵△=4b2+12a3，
∴△＞0对一切a＞0，b∈R恒成立．
∵a＞0，∴x1•x2＜0．
∴．
由得，
∴b2=3a2（6-a）．
∵b2≥0，
∴3a2（6-a）≥0，
∴0＜a≤6…（8分）
令h（a）=3a2（6-a），则h'（a）=-9a2+36a．
当0＜a＜4时，h′（a）＞0，∴h（a）在（0，4）内是增函数；
当4＜a＜6时，h′（a）＜0，∴h（a）在（4，6）内是减函数．
∴当a=4时，h（a）有极大值为96，
∴h（a）在（0，6]上的最大值是96，
∴b的最大值是…（12分）