Question

在某次趣味运动会中，甲、乙、丙三名选手进行单循环赛（即每两人比赛一场），共赛三场，每场比赛胜者得1分，输者得0分，没有平局；在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．
（Ⅰ）求甲获得小组第一且丙获得小组第二的概率；
（Ⅱ）求三人得分相同的概率；
（Ⅲ）设在该小组比赛中甲得分数为ξ，求Eξ．

Answer

（Ⅰ）甲获得小组第一且丙获得小组第二，则甲胜两场，丙胜一场．
（Ⅱ）求三人得分相同，则甲、乙、丙三人各胜一场．
（Ⅲ）该小组比赛中甲可能胜0场、胜1场、胜两场．得分数为0、1、2．
【解析】
（Ⅰ）设甲获小组第一且丙获小组第二为事件A，
所有场次为（甲、乙）、（甲、丙）、（乙、丙）
则甲获小组第一且丙获小组第二为甲胜两场，丙胜一场
所以P（A）=
（Ⅱ）设三场比赛结束后，三人得分相同为事件B，
即每人胜一场输两场，有以下两种情形：
甲胜乙，乙胜丙，丙胜甲，概率为P1=，
甲胜丙，丙胜乙，乙胜甲，概率为P2=，
三人得分相同的概率为P（B）=P1+P2==．
（Ⅲ）ξ可能的取值为0、1、2，
P（ξ=0）=，P（ξ=1）=+=，
P（ξ=2）=，
所以ξ的分布列为：

Eξ=0×+1×+2×=．