Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2，∠ACB=90°，E为BB₁中点，∠A₁DE=90°．
（I）求证：CD⊥平面A₁ABB₁；
（II）求二面角C-A₁E-D的大小．

Answer

（I）证明：连接AE．求出AB=2    求出AE=3．求出：AD=BD=．即D点是AB的中点，CD是等腰RT△ABC的斜边AB上的中线，
证明CD⊥AB，CD⊥AA1，且AA1∩AB=A，即可得到CD⊥面A1ABB．
（II）过D作DH⊥A1E于H，求出A1E=3，DE，A1D，DH，即可求出二面角C-A1E-D的正切值为：=1，二面角C-A1E-D的大小为45°
（I）证明：连接AE．在△ABC中，用勾股定理，求出AB=2         
在△A1B1E中，用勾股定理，求出AE=3．
在△AA1D中，有：A1D2=AA12+AD2
在△BDE中，有：DE2=BE2+BD2
在△A1DE中，有AE2=A1D2+DE2=（AA12+AD2）+（BE2+BD2）
AB=AD+BD（与上式联立，解方程组）
可以求出：AD=BD=．即D点是AB的中点，CD是等腰RT△ABC的斜边AB上的中线，
也就是斜边上的高（CD⊥AB）．
又在直三菱柱ABC-A1B1C1中，有AA1⊥底面ABC，又CD∈面ABC，则AA1⊥CD．
综合上述条件，CD⊥AB，CD⊥AA1，且AA1∩AB=A．，有CD⊥面A1ABB1
（II）过D作DH⊥A1E于H，AC=BC=AA1=2，A1E=3，DE=，A1D=，DH==
所以，二面角C-A1E-D的正切值为：=1，二面角C-A1E-D的大小为45°