Question

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，
点E在CC₁上，且A₁C⊥平面BED
（Ⅰ）证明； C₁E=3EC
（Ⅱ）求二面角A₁-DE-B的大小．

Answer

（I）连接D1C，由正四棱柱的结构特征，我们易证得A1D1⊥平面ADA1D1，A1C⊥平面BED，进而得到CE：CD=CD：DD1=1：2，进而由AA1=2AB，我们易证得C1E=3EC；
（II）由（I）的结论可得是平面BED的法向量，进而求出平面DA1E的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角A1-DE-B的大小．
（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：连接D1C，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，
A1C⊥BD
A1D1⊥平面ADA1D1
A1D1⊥DE
只要D1C⊥DE，就得到 DE⊥平面A1D1C，从而得到A1C⊥DE，A1C⊥平面BED
D1C⊥DE，CE：CD=CD：DD1=1：2
∴C1E=3EC（6分）
（Ⅱ）设向量n=（x，y，z） 是平面DA1E的法向量，
则．
故   2y+z=0，2x+4z=0．
令y=1，则z=-2，x=4，n=（4，1，-2）．…（9分）
＜n，等于二面角A1-DE-B 的平面角，
cos＜n，=．
所以二面角A1-DE-B的大小为arccos．----------（12分）