Question

函数f（x）=log_a（x³-ax）（a＞0且a≠1）在（2，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．a＞1
B．1＜a＜12
C．1＜a≤12
D．1＜a≤4

Answer

函数f（x）=loga（x3-ax）（a＞0且a≠1）在（2，+∞）上单调递增，根据幂函数类函数的递增趋势知当自变量大到一定程度，内层函数一定是增函数，由此可以判断出外层函数一定是增函数，即底数大于1，又由复合函数的单调性可以判断出内层函数在（2，+∞）上单调递增，故可以导数在该区间上恒正来得到参数的不等式，由此解出参数a的取值范围．
【解析】
函数f（x）=loga（x3-ax）（a＞0且a≠1）在（2，+∞）上单调递增
故外层函数是增函数，由此得a＞1
又内层函数在区间在（2，+∞）上单调递增
令t=x3-ax
则t'=3x2-a≥0在（2，+∞）上恒成立，
即3x2≥a在（2，+∞）上恒成立
故a≤12
又由真数大于0，故，8-2a≥0，
故a≤4由上得a的取值范围是1＜a≤4
故应选D．