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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PB⊥BC,PD⊥...

manfen5.com 满分网如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PB⊥BC,PD⊥CD,且PA=2,E点满足manfen5.com 满分网
(1)证明:PA⊥平面ABCD;
(2)求二面角E-AC-D的余弦值.
(3)在线段BC上是否存在点F,使得PF∥平面EAC?若存在,确定点F的位置,若不存在请说明理由.
(1)要证明:PA⊥平面ABCD,需要证明PA⊥BC,PA⊥CD即可. (2)求二面角E-AC-D的余弦值,利用三垂线定理,EO∥PA,过点O作OH⊥AC交AC于点H,连接EH,作出∠EHO为二面角E-AC-D的平面角,然后解直角三角形. (3)F为BC中点时,使得PF∥平面EAC,利用三角形相似证明PF∥ES即可. 证明:(1)平面PAB⇒BC⊥PA, 同理CD⊥PA,又CD∩BC=C,所以PA⊥平面ABCD; (2)在AD上取一点O,使,连接EO,则EO∥PA, 所以EO⊥平面ABCD. 过点O作OH⊥AC交AC于点H,连接EH,则EH⊥AC 所以∠EHO为二面角E-AC-D的平面角. 在△PAD中,;在Rt△AHO中,∠HAO=45°, 所以 所以所求二面角E-AC-D的余弦值为; (3)当F为BC中点时,PF∥平面EAC,理由如下:设AC,FD交于点S 因为AD∥FC所以又因为所以PF∥ES 因为PF⊂平面EAC,ES⊂平面EAC,所以PF∥平面EAC.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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