Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点．
（1）求证：CD∥面PAB；
（2）求异面直线EF与CD所成角；
（3）在AD上是否存在点Q，使QF⊥面PBC，给出理由或证明．

Answer

（1）由正方形的性质，我们可得CD∥AB，结合线面平行的判定定理可得CD∥面PAB；
（2）由（1）中CD∥AB，结合PD⊥底面ABCD，我们易证明CD⊥面PAD，即CD⊥PA，由E、F分别是AB、PB的中点，结合三角形中位线定理，得EF∥PA，进而得到异面直线EF与CD所成角；
（3）取PC中点K，AD的中点Q，连DK，FK，易证DK⊥面PBC，结合QF∥DK，即可得到QF⊥面PBC．
【解析】
（1）∵CD∥AB，AB⊂面PAB，CD⊄面PAB，
∴CD∥面PAB    （4分）
（2）∵CD∥AB，CD⊥PD
∴CD⊥面PAD，
∴CD⊥PA，又EF∥PA
∴EF与CD所成角为90°（8分）
（3）当Q是AD中点时，有QF⊥面PBC．
取PC中点K，连DK，FK，则DK⊥面PBC．
又FK∥AD，FK=AD，
∴QF∥DK
∴QF⊥面PBC（12分）