Question

已知椭圆经过点（p，q），离心率．其中p，q分别表示标准正态分布的期望值与标准差．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线x=my+1与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A'．①试建立△AOB的面积关于m的函数关系；②莆田十中高三（1）班数学兴趣小组通过试验操作初步推断：“当m变化时，直线A'B与x轴交于一个定点”．你认为此推断是否正确？若正确，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不正确，请说明理由．

Answer

（1）由p，q分别表示标准正态分布的期望值与标准差，可知椭圆过点（0，1），又离心率，从而可求椭圆C的方程；
（2）①将直线x=my+1与椭圆C联立，易求S==； ②取特殊点，直线A′B：x+4y-4=0与x轴的交点为S（4，0），猜想直线A′B与x轴交于定点S（4，0），再进行证明．
【解析】
（1）依题意椭圆过点（0，1），从而可得（2分）
解得a=2，b=1．（3分），所以椭圆C的方程是．（4分）
（2）①由得（my+1）2+4y2=4，即（m2+4）y2+2my-3=0．（5分）
记A（x1，y1），B（x2，y2），则．（6分），易求S==（8分）                                         
②特别地，令y1=-1，则
此时，直线A′B：x+4y-4=0与x轴的交点为S（4，0）
若直线A′B与x轴交于一个定点，则定点只能为S（4，0）（9分）
以下证明对于任意的m，直线A′B与x轴交于定点S（4，0）
事实上，经过点A′（x1，-y1），B（x2，y2）的直线方程为．
令y=0，得．
只需证明，（11分）即证，即证2my1y2-3（y1+y2）=0．
因为，所以2my1y2-3（y1+y2）=0成立．
这说明，当m变化时，直线A′B与x轴交于点S（4，0）（13分）